10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Senaryo 5 Soruları ve Cevapları

Dar açısı x olan bir dik üçgende x açısının karşısındaki dik kenar a, komşu dik kenar b, hipotenüs c olsun.

a) Pisagor teoreminden yararlanarak sin²x + cos²x = 1 özdeşliğini ispatlayınız.

b) sin x = 3/5 ise cos x, tan x ve cot x değerlerini bulunuz.

c) (1 − cos²x)/(sin x · cos x) ifadesinin tan x'e eşit olduğunu gösteriniz ve b şıkkındaki değerle sonucu doğrulayınız.

Düz bir arazide bir kulenin tabanı T, tepesi K noktasıdır. T, B ve A noktaları bu sırayla aynı doğru üzerindedir ve |AB| = 40 m'dir. K noktası A'dan 30°, B'den 60° yükselme açısıyla görülmektedir. Gözlemcilerin boyu ihmal edilecektir.

a) Kenar uzunluğu 2 birim olan eşkenar üçgeni ortadan ikiye bölerek tan 30° ve tan 60° değerlerini elde ediniz.

b) Kulenin yüksekliğini ve |BT| uzaklığını bulunuz.

c) |BK| uzunluğunu sinüs oranıyla hesaplayınız. Sonucun |AB| ile ilişkisini ABK üçgeninin açılarına dayanarak açıklayınız.

ABC üçgeni biçimindeki bir parkta A köşesindeki açı diktir. |AB| = 9 m ve |AC| = 12 m'dir. Parka üç düzenleme yapılacaktır.

a) Her düzenleme için hangi yardımcı elemanların kesişim noktasının kullanılacağını yazınız.

b) Sulama başlığının yerini belirleyiniz ve köşelere uzaklığını gerekçesiyle bulunuz.

c) Heykelin A köşesine uzaklığını hesaplayınız.

ç) Bankın kenarlara uzaklığını hesaplayınız.

ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 15 cm'dir. AD, A açısının iç açıortayıdır ve D noktası BC kenarı üzerindedir.

a) ABD ve ACD üçgenlerinin alanlarını iki farklı yolla oranlayarak |BD|/|DC| = |AB|/|AC| olduğunu gösteriniz.

b) |BD| ve |DC| uzunluklarını bulunuz.

c) Üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktası I olsun. |AI|/|ID| oranını bulunuz.

Üçgen biçimindeki bir arsanın tabanı 40 m, bu tabana ait yüksekliği 30 m'dir. Aşağıdaki değişiklikler ayrı ayrı incelenecektir.

a) Başlangıçtaki alanı hesaplayınız.

b) 1. ve 2. durumlardaki yeni alanları bulunuz. Alanın kaç katına çıktığını yazınız.

c) 3. durumdaki yeni yüksekliği bulunuz.

ç) 4. durumda alanın değişip değişmediğini gerekçesiyle açıklayınız. Yükseklik sabitken alan ile taban arasındaki ilişkiyi yazınız.

Dar açılı ABC üçgeninde |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c olsun. C köşesinden AB kenarına inen dikmenin ayağı H noktasıdır.

a) |AH|, |CH| ve |BH| uzunluklarını b, c ve A açısına bağlı olarak yazınız.

b) CHB dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak a² = b² + c² − 2bc · cos A eşitliğini ispatlayınız.

c) Bir tekne limandan çıkıp bir doğrultuda 8 km gitmektedir. Aynı limandan çıkan ikinci tekne, birincinin rotasıyla 60° açı yapan doğrultuda 5 km gitmektedir. İki tekne arasındaki uzaklığı bulunuz.

ç) A = 90° olduğunda teoremin hangi teoreme dönüştüğünü gösteriniz.